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+# 三维法向量
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+在进入下一章之前需要花点时间探究二维和三维的区别。尽管这一区别影响的范围不大无关且两种情形的做法相同（比如求三维切向量与二维情形所做的一样，不过所求为x、y、z而不只是x、y），但是法向量的情况有点复杂，所做的也就更多。尽管不是“极其困难”，但是所需的步骤更多，需要仔细看看。
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+三维法向量的求法原则上与二维一样——将规范化的切向量旋转90度。然而这就是情况变得略微复杂的地方：因为三维的“法向量”是法平面上的任意一个向量，所以可以旋转的方向并不唯一，因此需要定义三维情形中“唯一的”法向量是什么。
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+“朴素”的方法是构造[弗勒内法向量](https://en.wikipedia.org/wiki/Frenet%E2%80%93Serret_formulas)，而以下采用的简单做法在很多情况下都可行（但在其他情况下会得到极其怪异的结果）。思路是虽然有无穷多个向量与切向量垂直（即与之成90度角），但是切向量本身已差不多位于自带的平面上——因为曲线上的每一点（无论间隔多小）都有自己的切向量，所以可以说每个点都位于此处的切向量和“近旁”的切向量所在的平面上。
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+即使这两个切向量的差微乎其微，只要“有差”就可求出这一平面，或者说求出垂直于平面的向量。计算出这一向量之后，因为切向量在平面上，所以将切向量绕垂直向量旋转即可。计算这一法向量的逻辑与二维情形相同——“直接旋转90度”。
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+那么开始吧！令人意外的是四行就做完了：
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+- **a** = normalize(*B'*(*t*))
+- **b** = normalize(**a** + *B''*(*t*))
+- **r** = normalize(**b** × **a**)
+- **normal** = normalize(**r** × **a**)
+
+展开说几句：
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+- 先将曲线上一点的导数规范化得到[单位向量](https://en.wikipedia.org/wiki/Unit_vector)。规范化可以减少计算量，而计算量越少越好。
+- 再计算**b**。假如曲线从这个点开始不再变化，保持导数和二阶导数不变，则**b**表示下一个点处的切向量。
+- 得到两个共面向量后（导数、导数与二阶导数的和），用[叉积](https://en.wikipedia.org/wiki/Cross_product)这一基本的向量运算可以求出与这一平面垂直的向量。（注意这一运算使用的符号×绝非乘法运算！）叉积所得向量可以当做“旋转轴”，像二维情形一样将切向量旋转90度得到法向量。
+- 既然由叉积可得垂直于由两个向量所确定的平面的另一向量，而法向量又与切向量和旋转轴所在平面垂直，那么再用一次叉积即得法向量。
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+这样就求出了三维曲线“唯一”的法向量。以一条曲线为例看看效果如何？从左往右拖动滚动条，根据鼠标位置所确定的*t*值显示在此处的法向量——最左为0，最右为1，中间为0.5，等等：
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+<graphics-element title="一些已知和未知向量" width="350" height="300" src="./frenet.js">
+  <input type="range" min="0" max="1" step="0.01" value="0" class="slide-control">
+</graphics-element>
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+然而摆弄图像一阵之后可能会察觉到异样——法向量似乎在t=0.65和t=0.75之间“绕着曲线急转弯”……为什么会这样？
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+其实出现这种现象是因为数学公式就是这样推导的，所以弗勒内法向量的问题就在于此：虽然“从数学上看”是对的，但是“从实际上看”有问题。因此为了让任何图像都不出问题，所真正需要的是只要……看起来不错就好的方法。
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+还好不只有弗勒内法向量这一种选择。另一种选择是采用稍微偏算法的方式计算一种形式的[旋转最小化标架](https://www.microsoft.com/en-us/research/wp-content/uploads/2016/12/Computation-of-rotation-minimizing-frames.pdf)（亦称“平行输运标架”或“比舍标架”），此处“标架”是以线上点为原点，由切向量、旋转轴和法向量构成的集合。
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+因为计算这种类型的标架依赖于“上一个标架”，所以无法像弗勒内标架一样“按需”对单独的点直接计算，而是需要对整条曲线进行计算。好在计算过程相当简单，而且可以与曲线查询表的构建同时进行。
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+思路是在t=0处取一个由切向量、旋转轴、法向量构成的初始标架，再使用一定的规则计算下一标架“应有”的形式。上文链接的旋转最小化标架论文给出的规则为：
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+- 取曲线上已经求出旋转最小化标架的一个点，
+- 取曲线上尚未求出旋转最小化标架的下一个点，
+- 再以上一个点和下一个点的中垂面为镜面，将已有标架翻转到下一个点上。
+- 翻转后的切向量方向与下一个点的切向量方向大致相反，而且法向量也略有歪斜。
+- 于是再以翻转后的切向量和下一个点的切向量所确定的平面为镜面，将翻转后的标架再次翻转。
+- 切向量和法向量修正完毕，所得即为好用的标架。
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+来写点代码吧！
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+<div class="howtocode">
+
+### 实现旋转最小化标架
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+首先假设已有函数用于计算上文提及的指定点的弗勒内标架，输出的标架具有如下性质：
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+```
+{
+  o：所有向量的起点，即线上点；
+  t：切向量；
+  r：旋转轴向量；
+  n：法向量
+}
+```
+
+再如下写出生成一系列旋转最小化标架的函数：
+
+```
+generateRMFrames(steps) -> frames:
+  step = 1.0/steps
+  // 从曲线上t=0处标准的切向量/旋转轴/法向量标架开始：
+  frames.add(getFrenetFrame(0))
+  // 开始构造旋转最小化标架：
+  for t0 = 0, t0 < 1.0, t0 += step:
+    // 从已有的上一标架开始
+    x0 = frames.last
+    // 求出下一标架：要保留它的位置和切向量，
+    // 但要重新计算轴向量和法向量。
+    t1 = t0 + step
+    x1 = { o: getPoint(t1), t: getDerivative(t) }
+    // 首先以x0和x1的中垂面为镜面，
+    // 将x0的切向量和旋转轴翻转到x1处
+    v1 = x1.o - x0.o
+    c1 = v1 · v1
+    riL = x0.r - v1 * 2/c1 * v1 · x0.r
+    tiL = x0.t - v1 * 2/c1 * v1 · x0.t
+    // 注意到v1为向量，而2/c1和v1 · ……就是数，
+    // 因此上述代码只是对v1进行一定倍数的缩放。
+    // 然后再以过x1的平面为镜面再次翻转，
+    // 标架向量的方向即重新与曲线切向量一致：
+    v2 = x1.t - tiL
+    c2 = v2 · v2
+    // 收尾工作：
+    x1.r = riL - v2 * 2/c2 * v2 · riL
+    x1.n = x1.r × x1.t
+    frames.add(x1)
+```
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+即使忽略注释，代码也明显比计算单个弗勒内标架的多，但也没有多得离谱，而且得到了长得更好的法向量。
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+</div>
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+提到长得更好，这样的标架到底是什么样子？下面回顾之前的那条曲线，但这次用的不是弗勒内标架而是旋转最小化标架：
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+<graphics-element title="一些已知和未知向量" width="350" height="300"  src="./rotation-minimizing.js">
+  <input type="range" min="0" max="1" step="0.01" value="0" class="slide-control">
+</graphics-element>
+
+看起来好多了！
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+给看过代码的读者的话：严格来说一开始甚至不需要弗勒内标架。比方说可以将z轴当作初始旋转轴，于是初始法向量为 **(0,0,1)** × **切向量**，然后再继续下去。不过求出“数学上正确”的初始标架，从而让初始法向量的方向符合曲线在三维空间中的定向，这总归是不错的。