mirror of
https://github.com/Pomax/BezierInfo-2.git
synced 2025-08-30 11:40:27 +02:00
full regeneration
This commit is contained in:
Pomax
@@ -5,13 +5,13 @@ There's a number of useful things that you can do with Bézier curves based on t
|
||||
First, let's look at the derivative rule for Bézier curves, which is:
|
||||
|
||||
\[
|
||||
Bézier'(n,t) = n \cdot \sum_{i=0}^{n-1} (b_{i+1}-b_i) \cdot Bézier(n-1,t)_i
|
||||
\textit{Bézier}'(n,t) = n \cdot \sum_{i=0}^{n-1} (b_{i+1}-b_i) \cdot \textit{Bézier}(n-1,t)_i
|
||||
\]
|
||||
|
||||
which we can also write (observing that <i>b</i> in this formula is the same as our <i>w</i> weights, and that <i>n</i> times a summation is the same as a summation where each term is multiplied by <i>n</i>) as:
|
||||
|
||||
\[
|
||||
Bézier'(n,t) = \sum_{i=0}^{n-1} Bézier(n-1,t)_i \cdot n \cdot (w_{i+1}-w_i)
|
||||
\textit{Bézier}'(n,t) = \sum_{i=0}^{n-1} \textit{Bézier}(n-1,t)_i \cdot n \cdot (w_{i+1}-w_i)
|
||||
\]
|
||||
|
||||
Or, in plain text: the derivative of an n<sup>th</sup> degree Bézier curve is an (n-1)<sup>th</sup> degree Bézier curve, with one fewer term, and new weights w'<sub>0</sub>...w'<sub>n-1</sub> derived from the original weights as n(w<sub>i+1</sub> - w<sub>i</sub>). So for a 3<sup>rd</sup> degree curve, with four weights, the derivative has three new weights: w'<sub>0</sub> = 3(w<sub>1</sub>-w<sub>0</sub>), w'<sub>1</sub> = 3(w<sub>2</sub>-w<sub>1</sub>) and w'<sub>2</sub> = 3(w<sub>3</sub>-w<sub>2</sub>).
|
||||
@@ -75,8 +75,8 @@ And that's the first part done: the two components inside the parentheses are ac
|
||||
Now to apply this to our weighted Bézier curves. We'll write out the plain curve formula that we saw earlier, and then work our way through to its derivative:
|
||||
|
||||
\[\begin{array}{lcl}
|
||||
Bézier_{n,k}(t) &=& B_{n,0}(t) \cdot w_0 + B_{n,1}(t) \cdot w_1 + B_{n,2}(t) \cdot w_2 + B_{n,3}(t) \cdot w_3 + ... \\
|
||||
Bézier_{n,k}(t) \frac{d}{dt} &=& n \cdot (B_{n-1,-1}(t) - B_{n-1,0}(t)) \cdot w_0 + \\
|
||||
\textit{Bézier}_{n,k}(t) &=& B_{n,0}(t) \cdot w_0 + B_{n,1}(t) \cdot w_1 + B_{n,2}(t) \cdot w_2 + B_{n,3}(t) \cdot w_3 + ... \\
|
||||
\textit{Bézier}_{n,k}(t) \frac{d}{dt} &=& n \cdot (B_{n-1,-1}(t) - B_{n-1,0}(t)) \cdot w_0 + \\
|
||||
& & n \cdot (B_{n-1,0}(t) - B_{n-1,1}(t)) \cdot w_1 + \\
|
||||
& & n \cdot (B_{n-1,1}(t) - B_{n-1,2}(t)) \cdot w_2 + \\
|
||||
& & n \cdot (B_{n-1,2}(t) - B_{n-1,3}(t)) \cdot w_3 + \\
|
||||
@@ -106,7 +106,7 @@ Two of these terms fall way: the first term falls away because there is no -1<su
|
||||
And that's just a summation of lower order curves:
|
||||
|
||||
\[
|
||||
Bézier_{n,k}(t) \frac{d}{dt} = n \cdot B_{(n-1),BLUE[0]}(t) \cdot (w_1 - w_0)
|
||||
\textit{Bézier}_{n,k}(t) \frac{d}{dt} = n \cdot B_{(n-1),BLUE[0]}(t) \cdot (w_1 - w_0)
|
||||
+ n \cdot B_{(n-1),RED[1]}(t) \cdot (w_2 - w_1)
|
||||
+ n \cdot B_{(n-1),MAGENTA[2]}(t) \cdot (w_3 - w_2)
|
||||
~+ ~...
|
||||
@@ -115,8 +115,8 @@ And that's just a summation of lower order curves:
|
||||
We can rewrite this as a normal summation, and we're done:
|
||||
|
||||
\[
|
||||
Bézier_{n,k}(t) \frac{d}{dt} = \sum_{k=0}^{n-1} n \cdot B_{n-1,k}(t) \cdot (w_{k+1} - w_k)
|
||||
= \sum_{k=0}^{n-1} B_{n-1,k}(t) \cdot \underset{derivative~weights}
|
||||
\textit{Bézier}_{n,k}(t) \frac{d}{dt} = \sum_{k=0}^{n-1} n \cdot B_{n-1,k}(t) \cdot (w_{k+1} - w_k)
|
||||
= \sum_{k=0}^{n-1} B_{n-1,k}(t) \cdot \underset{\textit{derivative weights}}
|
||||
{\underbrace{n \cdot (w_{k+1} - w_k)}}
|
||||
\]
|
||||
|
||||
@@ -125,22 +125,22 @@ We can rewrite this as a normal summation, and we're done:
|
||||
Let's rewrite that in a form similar to our original formula, so we can see the difference. We will first list our original formula for Bézier curves, and then the derivative:
|
||||
|
||||
\[
|
||||
Bézier(n,t) = \sum_{i=0}^{n}
|
||||
\underset{binomial~term}{\underbrace{\binom{n}{i}}}
|
||||
\textit{Bézier}(n,t) = \sum_{i=0}^{n}
|
||||
\underset{\textit{binomial term}}{\underbrace{\binom{n}{i}}}
|
||||
\cdot\
|
||||
\underset{polynomial~term}{\underbrace{(1-t)^{n-i} \cdot t^{i}}}
|
||||
\underset{\textit{polynomial term}}{\underbrace{(1-t)^{n-i} \cdot t^{i}}}
|
||||
\cdot\
|
||||
\underset{weight}{\underbrace{w_i}}
|
||||
\underset{\textit{weight}}{\underbrace{w_i}}
|
||||
\]
|
||||
|
||||
\[
|
||||
Bézier'(n,t) = \sum_{i=0}^{k}
|
||||
\underset{binomial~term}{\underbrace{\binom{k}{i}}}
|
||||
\textit{Bézier}'(n,t) = \sum_{i=0}^{k}
|
||||
\underset{\textit{binomial term}}{\underbrace{\binom{k}{i}}}
|
||||
\cdot\
|
||||
\underset{polynomial~term}{\underbrace{(1-t)^{k-i} \cdot t^{i}}}
|
||||
\underset{\textit{polynomial term}}{\underbrace{(1-t)^{k-i} \cdot t^{i}}}
|
||||
\cdot\
|
||||
\underset{derivative~weight}{\underbrace{n \cdot (w_{i+1} - w_i)}}
|
||||
{~, ~with ~k=n-1}
|
||||
\underset{\textit{derivative weight}}{\underbrace{n \cdot (w_{i+1} - w_i)}}
|
||||
~,~\textit{with } k=n-1
|
||||
\]
|
||||
|
||||
|
||||
|
||||
@@ -5,13 +5,13 @@
|
||||
Для начала рассмотрим правило производных для кривых Безье:
|
||||
|
||||
\[
|
||||
Bézier'(n,t) = n \cdot \sum_{i=0}^{n-1} (b_{i+1}-b_i) \cdot Bézier(n-1,t)_i
|
||||
\textit{Bézier}'(n,t) = n \cdot \sum_{i=0}^{n-1} (b_{i+1}-b_i) \cdot \textit{Bézier}(n-1,t)_i
|
||||
\]
|
||||
|
||||
которое мы так же можем записать (отметив что <i>b</i> в этой формуле, то-же что наш <i>w</i> "вес", а <i>n</i> умноженная на функцию сумы — то-же что функция сумы, с каждой составляющей умноженной на <i>n</i>) как:
|
||||
|
||||
\[
|
||||
Bézier'(n,t) = \sum_{i=0}^{n-1} Bézier(n-1,t)_i \cdot n \cdot (w_{i+1}-w_i)
|
||||
\textit{Bézier}'(n,t) = \sum_{i=0}^{n-1} \textit{Bézier}(n-1,t)_i \cdot n \cdot (w_{i+1}-w_i)
|
||||
\]
|
||||
|
||||
Другими словами, производная кривой Безье n<sup>го</sup> порядка равна кривой Безье на порядок ниже (n-1), соответственно имея на один термин составляющих меньше, где новые веса w'<sub>0</sub>...w'<sub>n-1</sub> произведены из оригинальных по принципу n(w<sub>i+1</sub> - w<sub>i</sub>). Так, для кривой 3<sup>го</sup> порядка, с 4мя весами, производная имеет 3 веса: w'<sub>0</sub> = 3(w<sub>1</sub>-w<sub>0</sub>), w'<sub>1</sub> = 3(w<sub>2</sub>-w<sub>1</sub>) и w'<sub>2</sub> = 3(w<sub>3</sub>-w<sub>2</sub>).
|
||||
@@ -75,8 +75,8 @@
|
||||
Теперь применим это к записям наших формул с "весами". Начнем с формулы кривой Безье приведенной выше и пройдемся по ее производным.
|
||||
|
||||
\[\begin{array}{lcl}
|
||||
Bézier_{n,k}(t) &=& B_{n,0}(t) \cdot w_0 + B_{n,1}(t) \cdot w_1 + B_{n,2}(t) \cdot w_2 + B_{n,3}(t) \cdot w_3 + ... \\
|
||||
Bézier_{n,k}(t) \frac{d}{dt} &=& n \cdot (B_{n-1,-1}(t) - B_{n-1,0}(t)) \cdot w_0 + \\
|
||||
\textit{Bézier}_{n,k}(t) &=& B_{n,0}(t) \cdot w_0 + B_{n,1}(t) \cdot w_1 + B_{n,2}(t) \cdot w_2 + B_{n,3}(t) \cdot w_3 + ... \\
|
||||
\textit{Bézier}_{n,k}(t) \frac{d}{dt} &=& n \cdot (B_{n-1,-1}(t) - B_{n-1,0}(t)) \cdot w_0 + \\
|
||||
& & n \cdot (B_{n-1,0}(t) - B_{n-1,1}(t)) \cdot w_1 + \\
|
||||
& & n \cdot (B_{n-1,1}(t) - B_{n-1,2}(t)) \cdot w_2 + \\
|
||||
& & n \cdot (B_{n-1,2}(t) - B_{n-1,3}(t)) \cdot w_3 + \\
|
||||
@@ -106,7 +106,7 @@
|
||||
И это по сути формула функции сумы на 1 порядок ниже:
|
||||
|
||||
\[
|
||||
Bézier_{n,k}(t) \frac{d}{dt} = n \cdot B_{(n-1),BLUE[0]}(t) \cdot (w_1 - w_0)
|
||||
\textit{Bézier}_{n,k}(t) \frac{d}{dt} = n \cdot B_{(n-1),BLUE[0]}(t) \cdot (w_1 - w_0)
|
||||
+ n \cdot B_{(n-1),RED[1]}(t) \cdot (w_2 - w_1)
|
||||
+ n \cdot B_{(n-1),MAGENTA[2]}(t) \cdot (w_3 - w_2)
|
||||
~+ ~...
|
||||
@@ -116,8 +116,8 @@
|
||||
|
||||
|
||||
\[
|
||||
Bézier_{n,k}(t) \frac{d}{dt} = \sum_{k=0}^{n-1} n \cdot B_{n-1,k}(t) \cdot (w_{k+1} - w_k)
|
||||
= \sum_{k=0}^{n-1} B_{n-1,k}(t) \cdot \underset{вес~производной}
|
||||
\textit{Bézier}_{n,k}(t) \frac{d}{dt} = \sum_{k=0}^{n-1} n \cdot B_{n-1,k}(t) \cdot (w_{k+1} - w_k)
|
||||
= \sum_{k=0}^{n-1} B_{n-1,k}(t) \cdot \underset{\textit{вес производной}}
|
||||
{\underbrace{n \cdot (w_{k+1} - w_k)}}
|
||||
\]
|
||||
|
||||
@@ -126,22 +126,22 @@
|
||||
Давайте перепишем это по форме схожей с нашей исходной формулой, чтобы легче было разглядеть разницу. Сначала оригинальная формула, за ней производная:
|
||||
|
||||
\[
|
||||
Bézier(n,t) = \sum_{i=0}^{n}
|
||||
\underset{биноминальный~термин}{\underbrace{\binom{n}{i}}}
|
||||
\textit{Bézier}(n,t) = \sum_{i=0}^{n}
|
||||
\underset{\textit{биноминальный термин}}{\underbrace{\binom{n}{i}}}
|
||||
\cdot\
|
||||
\underset{полиноминальный~термин}{\underbrace{(1-t)^{n-i} \cdot t^{i}}}
|
||||
\underset{\textit{полиноминальный термин}}{\underbrace{(1-t)^{n-i} \cdot t^{i}}}
|
||||
\cdot\
|
||||
\underset{вес}{\underbrace{w_i}}
|
||||
\underset{\textit{вес}}{\underbrace{w_i}}
|
||||
\]
|
||||
|
||||
\[
|
||||
Bézier'(n,t) = \sum_{i=0}^{k}
|
||||
\underset{биноминальный~термин}{\underbrace{\binom{k}{i}}}
|
||||
\textit{Bézier}'(n,t) = \sum_{i=0}^{k}
|
||||
\underset{\textit{биноминальный термин}}{\underbrace{\binom{k}{i}}}
|
||||
\cdot\
|
||||
\underset{полиноминальный~термин}{\underbrace{(1-t)^{k-i} \cdot t^{i}}}
|
||||
\underset{\textit{полиноминальный термин}}{\underbrace{(1-t)^{k-i} \cdot t^{i}}}
|
||||
\cdot\
|
||||
\underset{вес~производной}{\underbrace{n \cdot (w_{i+1} - w_i)}}
|
||||
{~, ~with ~k=n-1}
|
||||
\underset{\textit{вес производной}}{\underbrace{n \cdot (w_{i+1} - w_i)}}
|
||||
~,~ \textit{with } k=n-1
|
||||
\]
|
||||
|
||||
И в чем же разница? В терминах формулы кривой Безье, по сути, никакой! Мы уменьшили порядок (вместо порядка <i>n</i>, он теперь <i>n-1</i>), но это все та же функция Безье. Единственное отличие в подсчете изменений в "весах" при нахождении производной. К примеру, исходя из 4-х контрольных точек A, B, C и D, первая производная получит 3 точки, вторая — 2, третья — 1:
|
||||
|
||||
Reference in New Issue
Block a user