From 5f6c843f8835e05a325c1cb4c70291337b8f85e5 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: ra30r <66021002+ra30r@users.noreply.github.com> Date: Mon, 18 Jan 2021 11:08:36 -0600 Subject: [PATCH] Ru ru translation (#298) * ru-RU introduction Translation of introduction to Russian * ru-RU whatis Translation of chapter 2 to Russian * (fixup) ru-RU intro fixed missing translations * ru-RU index.html Translated header, meta, title and link names for existing chapter's traslations. (will be updated with every new commit) * ru-RU locale strings Locale string russian traslations * locale fixup * build chapters 1,2 * ru-RU explanation translation of explanation to Russian. * ru-RU control translation of #control to Russian * ru-RU weightcontrol translation of #weightcontrol to Russian * ru-RU derivatives translation of #derivatives to Russian * (fixup) ru-RU weightcontrol * (fixup) ru-RU explanation * ru-RU extended * (fixup) ru-RU derivatives add newline to the end of paragraph * ru-RU decasteljau * ru-RU matrix Co-authored-by: Mammoth --- docs/chapters/matrix/content.ru-RU.md | 120 ++++++++++++++++++++++++++ 1 file changed, 120 insertions(+) create mode 100644 docs/chapters/matrix/content.ru-RU.md diff --git a/docs/chapters/matrix/content.ru-RU.md b/docs/chapters/matrix/content.ru-RU.md new file mode 100644 index 00000000..36ef7bbf --- /dev/null +++ b/docs/chapters/matrix/content.ru-RU.md @@ -0,0 +1,120 @@ +# Кривые Безье как матричные уравнения + +Мы также можем представить кривые Безье как матричную операцию, выразив формулу Безье как функцию с полиноминальноминальной основой, матрицу коэффициентов и матрицу конкретных координат. Давайте рассмотрим что это значит для уравнений кубических кривых Безье, используя P... для обозначения координат в "одном или более пространстве". + +\[ +B(t) = P_1 \cdot (1-t)^3 + P_2 \cdot 3 \cdot (1-t)^2 \cdot t + P_3 \cdot 3 \cdot (1-t) \cdot t^2 + P_4 \cdot t^3 +\] + +Обобщив, игнорируя конкретные значения, мы получим: + +\[ +B(t) = (1-t)^3 + 3 \cdot (1-t)^2 \cdot t + 3 \cdot (1-t) \cdot t^2 + t^3 +\] + +Это, в свою очередь, может быть записано как: + +\[ + \begin{matrix} + ... & = & (1-t)^3 \\ + & + & 3 \cdot (1-t)^2 \cdot t \\ + & + & 3 \cdot (1-t) \cdot t^2 \\ + & + & t^3 \\ + \end{matrix} +\] + +Последнее мы можем раскрыть, записав как: + +\[ + \begin{matrix} + ... & = & (1-t) \cdot (1-t) \cdot (1-t) & = & -t^3 + 3 \cdot t^2 - 3 \cdot t + 1 \\ + & + & 3 \cdot (1-t) \cdot (1-t) \cdot t & = & 3 \cdot t^3 - 6 \cdot t^2 + 3 \cdot t \\ + & + & 3 \cdot (1-t) \cdot t \cdot t & = & -3 \cdot t^3 + 3 \cdot t^2 \\ + & + & t \cdot t \cdot t & = & t^3 \\ + \end{matrix} +\] + +Более того можно записать с коэффициентами 1 и 0, включив нивелированные термины: + +\[ + \begin{matrix} + ... & = & -1 \cdot t^3 + 3 \cdot t^2 - 3 \cdot t + 1 \\ + & + & +3 \cdot t^3 - 6 \cdot t^2 + 3 \cdot t + 0 \\ + & + & -3 \cdot t^3 + 3 \cdot t^2 + 0 \cdot t + 0 \\ + & + & +1 \cdot t^3 + 0 \cdot t^2 + 0 \cdot t + 0 \\ + \end{matrix} +\] + +И уже это можно рассматривать как серию четырех матричных операций: + +\[ + \begin{bmatrix}t^3 & t^2 & t & 1\end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}-1 \\ 3 \\ -3 \\ 1\end{bmatrix} + + \begin{bmatrix}t^3 & t^2 & t & 1\end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}3 \\ -6 \\ 3 \\ 0\end{bmatrix} + + \begin{bmatrix}t^3 & t^2 & t & 1\end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}-3 \\ 3 \\ 0 \\ 0\end{bmatrix} + + \begin{bmatrix}t^3 & t^2 & t & 1\end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}1 \\ 0 \\ 0 \\ 0\end{bmatrix} +\] + +Скомбинировав в единую матричную операцию, получим: + +\[ + \begin{bmatrix}t^3 & t^2 & t & 1\end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} + -1 & 3 & -3 & 1 \\ + 3 & -6 & 3 & 0 \\ + -3 & 3 & 0 & 0 \\ + 1 & 0 & 0 & 0 + \end{bmatrix} +\] + +Такой тип функций полиноминальной основы зачастую записывается с основой в возрастающем порядке, что значит мы должны обернуть нашу `t` матрицу горизонтально, а нашу "большую" матрицу — вертикально: + +\[ + \begin{bmatrix}1 & t & t^2 & t^3\end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} + 1 & 0 & 0 & 0 \\ + -3 & 3 & 0 & 0 \\ + 3 & -6 & 3 & 0 \\ + -1 & 3 & -3 & 1 + \end{bmatrix} +\] + +Наконец, мы можем добавить оригинальные координаты единой третьей матрицей: + +\[ + B(t) = \begin{bmatrix} + 1 & t & t^2 & t^3 + \end{bmatrix} + \cdot + \begin{bmatrix} + 1 & 0 & 0 & 0 \\ + -3 & 3 & 0 & 0 \\ + 3 & -6 & 3 & 0 \\ + -1 & 3 & -3 & 1 + \end{bmatrix} + \cdot + \begin{bmatrix} + P_1 \\ P_2 \\ P_3 \\ P_4 + \end{bmatrix} +\] + +Такой же фокус может быть проделан с квадратной кривой, в коем случае мы получаем: + +\[ + B(t) = \begin{bmatrix} + 1 & t & t^2 + \end{bmatrix} + \cdot + \begin{bmatrix} + 1 & 0 & 0 \\ + -2 & 2 & 0 \\ + 1 & -2 & 1 + \end{bmatrix} + \cdot + \begin{bmatrix} + P_1 \\ P_2 \\ P_3 + \end{bmatrix} +\] + +Подставив `t` и перемножив матрицы, мы получим такие-же значения, как при подсчете с использованием исходной полиноминальной функции или графического метода интерполяции. + +**Итак: зачем нам возится с матрицами?** Матричное произведение раскрывает свойства функции кривых, которые в противном случае, было бы сложно обнаружить. Например, мы видим, что наша функция принадлежит к типу [треугольных матриц](https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A2%D1%80%D0%B5%D1%83%D0%B3%D0%BE%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B0%D1%8F_%D0%BC%D0%B0%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%86%D0%B0) (* в оригинале [другая ссылка](https://en.wikipedia.org/wiki/Triangular_matrix)), определенные количеством контрольных координат и обладают всеми соответствующими свойствами. Также, что они могут быть обернуты, что в свою очередь определяет [тонну других свойств](https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9E%D0%B1%D1%80%D0%B0%D1%82%D0%BD%D0%B0%D1%8F_%D0%BC%D0%B0%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%86%D0%B0#%D0%A1%D0%B2%D0%BE%D0%B9%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%B0_%D0%BE%D0%B1%D1%80%D0%B0%D1%82%D0%BD%D0%BE%D0%B9_%D0%BC%D0%B0%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%86%D1%8B) (* в оригинале [другая ссылка](https://en.wikipedia.org/wiki/Invertible_matrix#The_invertible_matrix_theorem)), применимых к нашим кривым. Конечно же, основным вопросом остается: "В чем состоит польза?". Тогда как ответ не становится *очевидным* немедленно, чуть далее мы увидим определенные случаи, где некоторые свойства кривых могут быть исчислены посредством манипуляции функцией, либо остроумным использованием матриц, и иногда последнее намного быстрее. + +Потому пока давайте запомним, что функции могут быть описаны таким образом, и будем двигаться дальше. \ No newline at end of file