A Primer on Bézier Curves

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序言

我们通常用线条来绘制2D图形，大致分为两种线条：直线和曲线。不论我们动手还是用电脑，都能很容易地画出第一种线条。只要给电脑起点和终点，砰！直线就画出来了。没什么好疑问的。

然而，绘制曲线却是个大问题。虽然我们可以很容易地徒手画出曲线，但除非给出描述曲线的数学函数，不然计算机无法画出曲线。实际上，画直线时也需要数学函数，但画直线所需的方程式很简单，我们在这里不去考虑。在计算机看来，所有线条都是“函数”，不管它们是直线还是曲线。然而，这就表示我们需要找到能在计算机上表现良好的曲线方程。这样的曲线有很多种，在本文我们主要关注一类特殊的、备受关注的函数，基本上任何画曲线的地方都会用到它：贝塞尔曲线。

它们是以Pierre Bézier命名的，尽管他并不是第一个，或者说唯一“发明”了这种曲线的人，但他让世界知道了这种曲线十分适合设计工作（在1962年为Renault工作并发表了他的研究）。有人也许会说数学家Paul de Casteljau是第一个发现这类曲线特性的人，在Citroën工作时，他提出了一种很优雅的方法来画这些曲线。然而，de Casteljau没有发表他的工作，这使得“谁先发现”这一问题很难有一个确切的答案。 贝塞尔曲线本质上是伯恩斯坦多项式，这是Sergei Natanovich Bernstein研究的一种数学函数，关于它们的出版物至少可以追溯到1912年。无论如何，这些都只是一些冷知识，你可能更在意的是这些曲线很方便：你可以连接多条贝塞尔曲线，并且连接起来的曲线看起来就像是一条曲线。甚至，在你在Photoshop中画“路径”或使用一些像Flash、Illustrator和Inkscape这样的矢量绘图程序时，所画的曲线都是贝塞尔曲线。

那么，要是你自己想编程实现它们呢？有哪些陷阱？你怎么画它们？包围盒是怎么样的，怎么确定交点，怎么拉伸曲线，简单来说：你怎么对曲线做一切你想做的事？这就是这篇文章想说的。准备好学习一些数学吧!

—Pomax (推特账号, @TheRealPomax)