info/learnxinyminutes-docs
1
0
Fork 0
mirror of https://github.com/adambard/learnxinyminutes-docs.git synced 2025-08-01 04:20:39 +02:00
Code Issues Releases Wiki Activity

Merge pull request #3429 from Menelion/big-o-ru

Browse Source 
[asymptotic-notation/ru] Proofreading
This commit is contained in:
Andre Polykanine
2018-12-23 00:59:25 +02:00
committed by GitHub
parent f03d941d86 ae6f3fbb8e
commit 6f9fd15d90
1 changed files with 225 additions and 225 deletions
Download Patch File Download Diff File Expand all files Collapse all files

450
ru-ru/asymptotic-notation-ru.html.markdown
View File

@@ -1,225 +1,225 @@
--- ---
category: Algorithms & Data Structures category: Algorithms & Data Structures
name: Asymptotic Notation name: Asymptotic Notation
contributors: contributors:
- ["Jake Prather", "http://github.com/JakeHP"] - ["Jake Prather", "http://github.com/JakeHP"]
- ["Divay Prakash", "http://github.com/divayprakash"] - ["Divay Prakash", "http://github.com/divayprakash"]
translators: translators:
- ["pru-mike", "http://gihub.com/pru-mike"] - ["pru-mike", "http://github.com/pru-mike"]
lang: ru-ru lang: ru-ru
--- ---
# О-cимволика # О-символика
## Что это такое? ## Что это такое?
О-cимволика или асимптотическая запись это система символов позволяющая оценить О-символика, или асимптотическая запись, — это система символов, позволяющая
время выполнения алгоритма, устанавливая зависимость времени выполнения от оценить время выполнения алгоритма, устанавливая зависимость времени выполнения
увеличения объема входных данных, так же известна как оценка от увеличения объёма входных данных. Она также известна как оценка
сложности алгоритмов. Быстро-ли алгоритм станет невероятно медленным, когда сложности алгоритмов. Станет ли алгоритм невероятно медленным, когда
объем входных данных увеличится? Будет-ли алгоритм выполняться достаточно быстро, объём входных данных увеличится? Будет ли алгоритм выполняться достаточно быстро,
если объем входных данных возрастет? О-символика позволяет ответить на эти если объём входных данных возрастёт? О-символика позволяет ответить на эти
вопросы. вопросы.
## Можно-ли по-другому найти ответы на эти вопросы? ## Можно ли по-другому найти ответы на эти вопросы?
Один способ это подсчитать число элементарных операций в зависимости от Один способ — это подсчитать число элементарных операций в зависимости от
различных объемов входных данных. Хотя это и приемлемое решение, тот объем различных объёмов входных данных. Хотя это и приемлемое решение, тот объём
работы которого оно потребует, даже для простых алгоритмов, делает его работы, которого оно потребует, даже для простых алгоритмов делает его
использование неоправданным. использование неоправданным.
Другой способ это измерить какое время алгоритм потребует для завершения на Другой способ — это измерить, какое время алгоритм потребует для завершения на
различных объемах входных данных. В тоже время, точность и относительность различных объёмах входных данных. В то же время, точность и относительность
(полученное время будет относиться только к той машине на которой оно этого метода (полученное время будет относиться только к той машине, на которой
вычислено) этого метода зависит от среды выполнения: компьютерного аппаратного оно вычислено) зависит от среды выполнения: компьютерного аппаратного
обеспечения, мощности процессора и т.д. обеспечения, мощности процессора и т.д.
## Виды О-символики ## Виды О-символики
В первом разделе этого документа мы определили, что О-символика В первом разделе этого документа мы определили, что О-символика
позволяет оценивать алгоритмы в зависимости от изменения размера входных позволяет оценивать алгоритмы в зависимости от изменения размера входных
данных. Представим что алгоритм это функция f, n размер входных данных и данных. Представим, что алгоритм — это функция f, n — размер входных данных и
f(n) время выполнения. Тогда для данного алгоритма f c размером входных f(n) — время выполнения. Тогда для данного алгоритма f с размером входных
данных n получим какое-то результирующее время выполнения f(n). данных n получим какое-то результирующее время выполнения f(n).
Из этого можно построить график, где ось Y время выполнения, ось X размер входных Из этого можно построить график, где ось y — время выполнения, ось x — размер входных
данных и точки на графике это время выполнения для заданного размера входных данных, а точки на графике — это время выполнения для заданного размера входных
данных. данных.
С помощью О-символики можно оценить функцию или алгоритм С помощью О-символики можно оценить функцию или алгоритм
несколькими различными способами. Например можно оценить алгоритм исходя несколькими различными способами. Например, можно оценить алгоритм исходя
из нижней оценки, верхней оценки, тождественной оценки. Чаще всего встречается из нижней оценки, верхней оценки, тождественной оценки. Чаще всего встречается
анализ на основе верхней оценки. Как правило не используется нижняя оценка, анализ на основе верхней оценки. Как правило не используется нижняя оценка,
потому что она не подходит под планируемые условия. Отличный пример алгоритмы потому что она не подходит под планируемые условия. Отличный пример — алгоритмы
сортировки, особенно добавление элементов в древовидную структуру. Нижняя оценка сортировки, особенно добавление элементов в древовидную структуру. Нижняя оценка
большинства таких алгоритмов может быть дана как одна операция. В то время как в большинства таких алгоритмов может быть дана как одна операция. В то время как в
большинстве случаев, добавляемые элементы должны быть отсортированы большинстве случаев добавляемые элементы должны быть отсортированы
соответствующим образом при помощи дерева, что может потребовать обхода целой соответствующим образом при помощи дерева, что может потребовать обхода целой
ветви. Это и есть худший случай, для которого планируется верхняя оценка. ветви. Это и есть худший случай, для которого планируется верхняя оценка.
### Виды функций, пределы и упрощения ### Виды функций, пределы и упрощения
``` ```
Логарифмическая функция - log n Логарифмическая функция — log n
Линейная функция - an + b Линейная функция — an + b
Квадратическая функция - an^2 + bn +c Квадратичная функция — an^2 + bn +c
Полиномиальная функция - an^z + . . . + an^2 + a*n^1 + a*n^0, где z константа Степенная функция — an^z + . . . + an^2 + a*n^1 + a*n^0, где z — константа
Экспоненциальная функция - a^n, где a константа Показательная функция — a^n, где a — константа
``` ```
Приведены несколько базовых функций используемых при определении сложности в Приведены несколько базовых функций, используемых при определении сложности в
различных оценках. Список начинается с самой медленно возрастающей функции различных оценках. Список начинается с самой медленно возрастающей функции
(логарифм, наиболее быстрое время выполнения) и следует до самой быстро (логарифм, наиболее быстрое время выполнения) и следует до самой быстро
возрастающей функции (экспонента, самое медленное время выполнения). Отметим, возрастающей функции (экспонента, самое медленное время выполнения). Отметим,
что в то время как 'n' или размер входных данных, возрастает в каждой из этих функций, что в то время, как «n», или размер входных данных, возрастает в каждой из этих функций,
результат намного быстрее возрастает в квадратической, полиномиальной результат намного быстрее возрастает в квадратичной, степенной
и экспоненциальной по сравнению с логарифмической и линейной. и показательной по сравнению с логарифмической и линейной.
Крайне важно понимать, что при использовании описанной далее нотации необходимо Крайне важно понимать, что при использовании описанной далее нотации необходимо
использовать упрощенные выражения. использовать упрощённые выражения.
Это означает, что необходимо отбрасывать константы и слагаемые младших порядков, Это означает, что необходимо отбрасывать константы и слагаемые младших порядков,
потому что если размер входных данных (n в функции f(n) нашего примера) потому что если размер входных данных (n в функции f(n) нашего примера)
увеличивается до бесконечности (в пределе), тогда слагаемые младших порядков увеличивается до бесконечности (в пределе), тогда слагаемые младших порядков
и константы становятся пренебрежительно малыми. Таким образом, если есть и константы становятся пренебрежительно малыми. Таким образом, если есть
константа например размера 2^9001 или любого другого невообразимого размера, константа, например, размера 2^9001 или любого другого невообразимого размера,
надо понимать, что её упрощение внесёт значительные искажения в точность надо понимать, что её упрощение внесёт значительные искажения в точность
оценки. оценки.
Т.к. нам нужны упрощенные выражения, немного скорректируем нашу таблицу... Т.к. нам нужны упрощённые выражения, немного скорректируем нашу таблицу...
``` ```
Логарифм - log n Логарифм — log n
Линейная функция - n Линейная функция — n
Квадратическая функция - n^2 Квадратичная функция — n^2
Полиномиальная функция - n^z, где z константа Степенная функция — n^z, где z — константа
Экспонента - a^n, где a константа Показательная функция — a^n, где a — константа
``` ```
### О-Большое ### О Большое
О-Большое, записывается как **О**, это асимптотическая запись для оценки худшего О Большое, записывается как **О**, — это асимптотическая запись для оценки худшего
случая или для ограничения заданой функции сверху. Это позволяет сделать случая, или для ограничения заданной функции сверху. Это позволяет сделать
_**асимптотическую оценку верхней границы**_ скорости роста времени выполнения _**асимптотическую оценку верхней границы**_ скорости роста времени выполнения
алгоритма. Допустим `f(n)` время выполнения алгоритма и `g(n)` заданная временная алгоритма. Пусть `f(n)` — время выполнения алгоритма, а `g(n)` — заданная временная
сложность которая проверяется для алгоритма. Тогда `f(n)` это O(g(n)), если сложность, которая проверяется для алгоритма. Тогда `f(n)` — это O(g(n)), если
существуют действительные константы с (с > 0) и n<sub>0</sub>, такие существуют действительные константы c (c > 0) и n<sub>0</sub>, такие,
что `f(n)` <= `c g(n)` выполняется для всех n начиная с некоторого n<sub>0</sub> (n > n<sub>0</sub>). что `f(n)` <= `c g(n)` выполняется для всех n, начиная с некоторого n<sub>0</sub> (n > n<sub>0</sub>).
*Пример 1* *Пример 1*
``` ```
f(n) = 3log n + 100 f(n) = 3log n + 100
g(n) = log n g(n) = log n
``` ```
Является-ли `f(n)` O(g(n))? Является ли `f(n)` O(g(n))?
Является-ли `3 log n + 100` O(log n)? Является ли `3 log n + 100` O(log n)?
Посмотрим на определение О-Большого: Посмотрим на определение О Большого:
``` ```
3log n + 100 <= c * log n 3log n + 100 <= c * log n
``` ```
Существуют-ли константы c, n<sub>0</sub> такие что выражение верно для всех n > n<sub>0</sub> Существуют ли константы c и n<sub>0</sub>, такие, что выражение верно для всех n > n<sub>0</sub>?
``` ```
3log n + 100 <= 150 * log n, n > 2 (неопределенно для n = 1) 3log n + 100 <= 150 * log n, n > 2 (не определенно для n = 1)
``` ```
Да! По определению О-Большого `f(n)` является O(g(n)). Да! По определению О Большого `f(n)` является O(g(n)).
*Пример 2* *Пример 2*
``` ```
f(n) = 3 * n^2 f(n) = 3 * n^2
g(n) = n g(n) = n
``` ```
Является-ли `f(n)` O(g(n))? Является ли `f(n)` O(g(n))?
Является-ли `3 * n^2` O(n)? Является ли `3 * n^2` O(n)?
Посмотрим на определение О-Большого: Посмотрим на определение О Большого:
``` ```
3 * n^2 <= c * n 3 * n^2 <= c * n
``` ```
Существуют-ли константы c, n<sub>0</sub> такие что выражение верно для всех n > n<sub>0</sub>? Существуют ли константы c и n<sub>0</sub>, такие, что выражение верно для всех n > n<sub>0</sub>?
Нет, не существуют. `f(n)` НЕ ЯВЛЯЕТСЯ O(g(n)). Нет, не существуют. `f(n)` НЕ ЯВЛЯЕТСЯ O(g(n)).
### Омега-Большое ### Омега Большое
Омега-Большое, записывается как **Ω**, это асимптотическая запись для оценки Омега Большое, записывается как **Ω**, — это асимптотическая запись для оценки
лучшего случая или для ограничения заданой функции снизу. Это позволяет сделать лучшего случая, или для ограничения заданной функции снизу. Это позволяет сделать
_**асимптотическую оценку нижней границы**_ скорости роста времени выполнения _**асимптотическую оценку нижней границы**_ скорости роста времени выполнения
алгоритма. алгоритма.
`f(n)` принадлежит Ω(g(n)), если существуют действительные константы `f(n)` является Ω(g(n)), если существуют действительные константы
с (с > 0) и <sub>0</sub> (n<sub>0</sub> > 0), такие что `f(n)` >= `c g(n)` для всех n > n<sub>0</sub>. c (c > 0) и n<sub>0</sub> (n<sub>0</sub> > 0), такие, что `f(n)` >= `c g(n)` для всех n > n<sub>0</sub>.
### Примечание ### Примечание
Асимптотические оценки сделаные при помощи О-Большое и Омега-Большое могут Асимптотические оценки, сделаные при помощи О Большого и Омега Большого, могут
как быть так и не быть точными. Для того что бы обозначить что границы не как являться, так и не являться точными. Для того, чтобы обозначить, что границы не
являются асимптотически точными используются записи о-малое и омега-малое. являются асимптотически точными, используются записи О Малое и Омега Малое.
### О-Малое ### О Малое
O-Малое, записывается как **о**, это асимптотическая запись для оценки верхней O Малое, записывается как **о**, — это асимптотическая запись для оценки верхней
границы времени выполнения алгоритма, при условии что граница не является границы времени выполнения алгоритма при условии, что граница не является
асимптотически точной. асимптотически точной.
`f(n)` является o(g(n)), если можно подобрать такие действительные константы, `f(n)` является o(g(n)), если можно подобрать такие действительные константы,
что для всех c (c > 0) найдется n<sub>0</sub> (n<sub>0</sub> > 0), так что для всех c (c > 0) найдётся n<sub>0</sub> (n<sub>0</sub> > 0), так
что `f(n)` < `c g(n)` выполняется для всех n (n > n<sub>0</sub>). что `f(n)` < `c g(n)` выполняется для всех n (n > n<sub>0</sub>).
Определения О-символики для О-Большое и О-Малое похожи. Главное отличие в том, Определения О-символики для О Большого и О Малого похожи. Главное отличие в том,
что если f(n) = O(g(n)), тогда условие f(n) <= c g(n) выполняется если _**существует**_ что если f(n) = O(g(n)), тогда условие f(n) <= c g(n) выполняется, если _**существует**_
константа c > 0, но если f(n) = o(g(n)), тогда условие f(n) < c g(n) выполняется константа c > 0, но если f(n) = o(g(n)), тогда условие f(n) < c g(n) выполняется
для _**всех**_ констант с > 0. для _**всех**_ констант c > 0.
### Омега-малое ### Омега Малое
Омега-малое, записывается как **ω**, это асимптотическая запись для оценки Омега Малое, записывается как **ω**, — это асимптотическая запись для оценки
верней границы времени выполнения алгоритма, при условии что граница не является верхней границы времени выполнения алгоритма при условии, что граница не является
асимптотически точной. асимптотически точной.
`f(n)` является ω(g(n)), если можно подобрать такие действительные константы, `f(n)` является ω(g(n)), если можно подобрать такие действительные константы,
что для всех c (c > 0) найдется n<sub>0</sub> (n<sub>0</sub> > 0), так что для всех c (c > 0) найдётся n<sub>0</sub> (n<sub>0</sub> > 0), так
что `f(n)` > `c g(n)` выполняется для всех n (n > n<sub>0</sub>) что `f(n)` > `c g(n)` выполняется для всех n (n > n<sub>0</sub>).
Определения Ω-символики и ω-символики похожи. Главное отличие в том, что Определения Ω-символики и ω-символики похожи. Главное отличие в том, что
если f(n) = Ω(g(n)), тогда условие f(n) >= c g(n) выполняется если _**существует**_ если f(n) = Ω(g(n)), тогда условие f(n) >= c g(n) выполняется, если _**существует**_
константа c > 0, но если f(n) = ω(g(n)), тогда условие f(n) > c g(n) константа c > 0, но если f(n) = ω(g(n)), тогда условие f(n) > c g(n)
выполняется для _**всех**_ констант с > 0. выполняется для _**всех**_ констант c > 0.
### Тета ### Тета
Тета, записывается как **Θ**, это асимптотическая запись для оценки Тета, записывается как **Θ**, — это асимптотическая запись для оценки
_***асимптотически точной границы***_ времени выполнения алгоритма. _***асимптотически точной границы***_ времени выполнения алгоритма.
`f(n)` является Θ(g(n)), если для некоторых действительных `f(n)` является Θ(g(n)), если для некоторых действительных
констант c1, c2 и n<sub>0</sub> (c1 > 0, c2 > 0, n<sub>0</sub> > 0), констант c1, c2 и n<sub>0</sub> (c1 > 0, c2 > 0, n<sub>0</sub> > 0)
`c1 g(n)` < `f(n)` < `c2 g(n)` для всех n (n > n<sub>0</sub>). `c1 g(n)` < `f(n)` < `c2 g(n)` для всех n (n > n<sub>0</sub>).
∴ `f(n)` является Θ(g(n)) означает что `f(n)` является O(g(n)) ∴ `f(n)` является Θ(g(n)) означает, что `f(n)` является O(g(n))
и `f(n)` является Ω(g(n)). и `f(n)` является Ω(g(n)).
О-Большое основной инструмент для анализа сложности алгоритмов. О Большое — основной инструмент для анализа сложности алгоритмов.
Так же смотрите примеры по ссылкам. Также см. примеры по ссылкам.
### Заключение ### Заключение
Такую тему сложно изложить кратко, поэтому обязательно стоит пройти по ссылкам и Такую тему сложно изложить кратко, поэтому обязательно стоит пройти по ссылкам и
посмотреть дополнительную литературу. В них дается более глубокое описание с посмотреть дополнительную литературу. В ней даётся более глубокое описание с
определениями и примерами. определениями и примерами.
## Дополнительная литература ## Дополнительная литература
* [Алгоритмы на Java](https://www.ozon.ru/context/detail/id/18319699/) * [Алгоритмы на Java](https://www.ozon.ru/context/detail/id/18319699/)
* [Алгоритмы. Построение и анализ](https://www.ozon.ru/context/detail/id/33769775/) * [Алгоритмы. Построение и анализ](https://www.ozon.ru/context/detail/id/33769775/)
## Ссылки ## Ссылки
* [Оценки времени исполнения. Cимвол O()](http://algolist.manual.ru/misc/o_n.php) * [Оценки времени исполнения. Символ O()](http://algolist.manual.ru/misc/o_n.php)
* [Асимптотический анализ и теория вероятностей](https://www.lektorium.tv/course/22903) * [Асимптотический анализ и теория вероятностей](https://www.lektorium.tv/course/22903)
## Ссылки (Eng) ## Ссылки (англ.)
* [Algorithms, Part I](https://www.coursera.org/learn/algorithms-part1) * [Algorithms, Part I](https://www.coursera.org/learn/algorithms-part1)
* [Cheatsheet 1](http://web.mit.edu/broder/Public/asymptotics-cheatsheet.pdf) * [Cheatsheet 1](http://web.mit.edu/broder/Public/asymptotics-cheatsheet.pdf)
* [Cheatsheet 2](http://bigocheatsheet.com/) * [Cheatsheet 2](http://bigocheatsheet.com/)