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# 用矩阵运算来表示贝塞尔曲率
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通过将贝塞尔公式表示成一个多项式基本方程、系数矩阵以及实际的坐标，我们也可以用矩阵运算来表示贝塞尔。让我们看一下这对三次曲线来说有什么含义：
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\[
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B(t) = P_1 \cdot (1-t)^3 + P_2 \cdot 3 \cdot (1-t)^2 \cdot t + P_3 \cdot 3 \cdot (1-t) \cdot t^2 + P_4 \cdot t^3
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\]
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暂时不用管我们具体的坐标，现在有：
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\[
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B(t) = (1-t)^3 + 3 \cdot (1-t)^2 \cdot t + 3 \cdot (1-t) \cdot t^2 + t^3
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\]
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可以将它写成四个表达式之和：
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\[
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\begin{matrix}
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... & = & (1-t)^3 \\
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& + & 3 \cdot (1-t)^2 \cdot t \\
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& + & 3 \cdot (1-t) \cdot t^2 \\
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& + & t^3 \\
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\end{matrix}
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\]
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我们可以扩展这些表达式：
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\[
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\begin{matrix}
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... & = & (1-t) \cdot (1-t) \cdot (1-t) & = & -t^3 + 3 \cdot t^2 - 3 \cdot t + 1 \\
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& + & 3 \cdot (1-t) \cdot (1-t) \cdot t & = & 3 \cdot t^3 - 6 \cdot t^2 + 3 \cdot t \\
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& + & 3 \cdot (1-t) \cdot t \cdot t & = & -3 \cdot t^3 + 3 \cdot t^2 \\
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& + & t \cdot t \cdot t & = & t^3 \\
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\end{matrix}
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\]
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更进一步，我们可以加上所有的1和0系数，以便看得更清楚：
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\[
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\begin{matrix}
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... & = & -1 \cdot t^3 + 3 \cdot t^2 - 3 \cdot t + 1 \\
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& + & +3 \cdot t^3 - 6 \cdot t^2 + 3 \cdot t + 0 \\
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& + & -3 \cdot t^3 + 3 \cdot t^2 + 0 \cdot t + 0 \\
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& + & +1 \cdot t^3 + 0 \cdot t^2 + 0 \cdot t + 0 \\
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\end{matrix}
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\]
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*现在*，我们可以将它看作四个矩阵运算：
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\[
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\begin{bmatrix}t^3 & t^2 & t & 1\end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}-1 \\ 3 \\ -3 \\ 1\end{bmatrix}
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+ \begin{bmatrix}t^3 & t^2 & t & 1\end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}3 \\ -6 \\ 3 \\ 0\end{bmatrix}
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+ \begin{bmatrix}t^3 & t^2 & t & 1\end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}-3 \\ 3 \\ 0 \\ 0\end{bmatrix}
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+ \begin{bmatrix}t^3 & t^2 & t & 1\end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}1 \\ 0 \\ 0 \\ 0\end{bmatrix}
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\]
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如果我们将它压缩到一个矩阵操作里，就能得到：
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\[
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\begin{bmatrix}t^3 & t^2 & t & 1\end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
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-1 & 3 & -3 & 1 \\
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3 & -6 & 3 & 0 \\
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-3 & 3 & 0 & 0 \\
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1 & 0 & 0 & 0
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\end{bmatrix}
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\]
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这种多项式表达式一般是以递增的顺序来写的，所以我们应该将`t`矩阵水平翻转，并将大的那个“混合”矩阵上下颠倒：
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\[
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\begin{bmatrix}1 & t & t^2 & t^3\end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
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1 & 0 & 0 & 0 \\
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-3 & 3 & 0 & 0 \\
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3 & -6 & 3 & 0 \\
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-1 & 3 & -3 & 1
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\end{bmatrix}
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\]
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最终，我们可以加入原始的坐标，作为第三个单独矩阵：
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\[
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B(t) = \begin{bmatrix}
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1 & t & t^2 & t^3
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\end{bmatrix}
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\cdot
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\begin{bmatrix}
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1 & 0 & 0 & 0 \\
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-3 & 3 & 0 & 0 \\
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3 & -6 & 3 & 0 \\
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-1 & 3 & -3 & 1
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\end{bmatrix}
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\cdot
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\begin{bmatrix}
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P_1 \\ P_2 \\ P_3 \\ P_4
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\end{bmatrix}
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\]
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我们可以对二次曲线运用相同的技巧，可以得到：
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\[
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B(t) = \begin{bmatrix}
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1 & t & t^2
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\end{bmatrix}
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\cdot
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\begin{bmatrix}
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1 & 0 & 0 \\
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-2 & 2 & 0 \\
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1 & -2 & 1
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\end{bmatrix}
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\cdot
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\begin{bmatrix}
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P_1 \\ P_2 \\ P_3
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\end{bmatrix}
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\]
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如果我们代入`t`值并乘以矩阵来计算，得到的值与解原始多项式方程或用逐步线性插值计算的结果一样。
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**因此：为什么我们要用矩阵来计算？** 用矩阵形式来表达曲线可以让我们去探索函数的一些很难被发现的性质。可以证明的是曲线构成了[三角矩阵](https://en.wikipedia.org/wiki/Triangular_matrix)，并且它与我们用在曲线中的实际坐标的求积相同。它还是可颠倒的，这说明可以满足[大量特性](https://en.wikipedia.org/wiki/Invertible_matrix#The_invertible_matrix_theorem)。当然，主要问题是：“现在，为什么这些对我们很有用？”，答案就是这些并不是立刻就很有用，但是以后你会看到在一些例子中，曲线的一些属性可以用函数式来计算，也可以巧妙地用矩阵运算来得到，有时候矩阵方法要快得多。
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所以，现在只要记着我们可以用这种形式来表示曲线，让我们接着往下看看。
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