Контроль кривых Безье

Кривые Безье, как и все отрезки кривых, являются интерполярными функциями. Это значит, что они имеют заданный набор контрольных точек и генерируют значения где-то "между" ними. (Одним следствием этого есть то, что невозможно сгенерировать точки вне этого "каркаса". Полезная информация!). На практике мы можем проиллюстрировать влияние каждой контрольной точки на течение кривой по отдельности и проследить какие из точек имеют наибольший эффект в тех и иных частях кривой.

Следующие зарисовки демонстрируют интерполяции функций для квадратной и кубической кривых, где "S" представляет степень влияния контрольной точки на положение участка кривой по ходу развития t. Потяните ползунки, чтобы отследить проценты интерполяций каждой контрольной точки на конкретном t.

Также представлена интерполяция кривой Безье 15^го порядка. Как вы можете видеть, начальная и конечная точки влияют на положение кривой значительно больше, чем любая другая контрольная точка.

Желая изменить кривую, нам нужно изменить "вес"-а (* коофициенты) для каждой точки, по сути меняя интерполяцию. Имплементация оного предельно логична: нужно просто перемножить каждую точку на значение, меняющее ее 'силу'. Эти значения, по конвенции называют "весом" и мы можем учесть их запись в нашей оригинальной функции Безье:

[ Bézier(n,t) = \sum_{i=0}^{n} \underset{\textit{биноминальный термин}}{\underbrace{\binom{n}{i}}} \cdot
\underset{\textit{полиноминальный термин}}{\underbrace{(1-t)^{n-i} \cdot t^{i}}} \cdot
\underset{\textit{вес}}{\underbrace{w_i}} ]

Хоть и выглядит заморочено, но, так уж получается, в реальности "веса" просто значения координат на графике, к которым мы бы хотели, чтобы наша функция стремилась. Так, для кривой n-го порядка, w₀ есть начальной координатой, w_n конечной координатой, а все между ними — контрольными координатами. Например, чтобы кубическая кривая начиналась в (110,150), стремилась к точкам (25,190) и (210,250) заканчиваясь на (210,30), мы запишем это следующим образом:

[ \left { \begin{matrix} x = DARKRED[110] \cdot (1-t)^3 + DARKGREEN[25] \cdot 3 \cdot (1-t)^2 \cdot t + DARKBLUE[210] \cdot 3 \cdot (1-t) \cdot t^2 + AMBER[210] \cdot t^3 \ y = DARKRED[150] \cdot (1-t)^3 + DARKGREEN[190] \cdot 3 \cdot (1-t)^2 \cdot t + DARKBLUE[250] \cdot 3 \cdot (1-t) \cdot t^2 + AMBER[30] \cdot t^3 \end{matrix} \right. ]

Это производит кривую, график которой мы видели в первой главе этой статьи.

Что еще можно сделать с кривой Безье? На самом деле — вполне не мало. Остальная часть статьи описывает множества доступных операций и задач, которые они решают.

Имплементация весовых функций.

Отталкиваясь от того, что мы уже знаем как воплотить базис функции, добавление контрольных точек представляет собой удивительно легкую задачу:

function Bezier(n,t,w[]):
  sum = 0
  for(k=0; k<=n; k++):
    sum += w[k] * binomial(n,k) * (1-t)^(n-k) * t^(k)
  return sum

И оптимизированная версия:

function Bezier(2,t,w[]):
  t2 = t * t
  mt = 1-t
  mt2 = mt * mt
  return w[0]*mt2 + w[1]*2*mt*t + w[2]*t2

function Bezier(3,t,w[]):
  t2 = t * t
  t3 = t2 * t
  mt = 1-t
  mt2 = mt * mt
  mt3 = mt2 * mt
  return w[0]*mt3 + 3*w[1]*mt2*t + 3*w[2]*mt*t2 + w[3]*t3

И вот, мы знаем как программировать базис функции с весами.

6.0 KiB Raw Permalink Blame History Unescape Escape

Контроль кривых Безье

Имплементация весовых функций.

6.0 KiB

Raw Permalink Blame History