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导数
利用贝塞尔函数的导数可以对贝塞尔曲线做一些有用的事，而贝塞尔函数较为有趣的一个性质是其导数也为贝塞尔函数。其实贝塞尔函数的求导相对而言比较直接，只是需要一点数学运算。
首先观察贝塞尔函数的求导法则，即：
[ \textit{Bézier}'(n,t) = n \cdot \sum_{i=0}^{n-1} (b_{i+1}-b_i) \cdot \textit{Bézier}(n-1,t)_i ]
上式可改写为（注意式中的b即权重w，且n乘以一个和式等于每个求和项乘以n再求和）：
[ \textit{Bézier}'(n,t) = \sum_{i=0}^{n-1} \textit{Bézier}(n-1,t)i \cdot n \cdot (w{i+1}-w_i) ]
直白地说，n次贝塞尔函数的导数为n-1次贝塞尔函数，少了一项，而且新的权重w'0、……、w'n-1可用旧的权重通过n(wi+1 - wi)求得。对于带四个权重的三次函数，其导数的三个新权重为：w'0 = 3(w1-w0)，w'1 = 3(w2-w1)和w'2 = 3(w3-w2)。
“慢着，为什么这是对的？”
虽然有时候有人告诉说“这是导数”就行，但还是可能想一探究竟。既然如此，就来看看这个导数的证明。首先，因为权重不影响完整的贝塞尔函数的求导，所以求导只涉及多项式基函数的导数。基函数的导数为：
[ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} B_{n,k}(t) = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \left( \mathrm{C}_n^k t^k (1-t)^{n-k} \right) ]
[ \cdots = \mathrm{C}_n^k \left ( k \cdot t^{k-1} (1-t)^{n-k} + t^k \cdot (1-t)^{n-k-1} \cdot (n-k) \cdot -1 \right ) ]
上式不易处理，因此打开括号：
[ \cdots = \frac{kn!}{k!(n-k)!} t^{k-1} (1-t)^{n-k} - \frac{(n-k)n!}{k!(n-k)!} t^k (1-t)^{n-1-k} ]
现在技巧性的一步是将上式再次化为含二项式系数的形式，需要得到形如“x!/y!(x-y)!”的项。如果得到关于n-1和k-1的项，那么说明方向是对的。
[ \begin{array}{l} \cdots = \frac{n!}{(k-1)!(n-k)!} t^{k-1} (1-t)^{n-k} - \frac{(n-k)n!}{k!(n-k)!} t^k (1-t)^{n-1-k} \ \cdots = n \left ( \frac{(n-1)!}{(k-1)!(n-k)!} t^{k-1} (1-t)^{n-k} - \frac{(n-k)(n-1)!}{k!(n-k)!} t^k (1-t)^{n-1-k} \right ) \ \cdots = n \left ( \frac{(n-1)!}{(k-1)!((n-1)-(k-1))!} t^{k-1} (1-t)^{(n-1)-(k-1)} - \frac{(n-1)!}{k!((n-1)-k)!} t^k (1-t)^{(n-1)-k} \right ) \end{array} ]
这是第一步。上式括号里的两项其实为标准的、低一次的贝塞尔函数：
[\begin{array}{l} \cdots = n \left ( \frac{x!}{y!(x-y)!} t^{y} (1-t)^{x-y} - \frac{x!}{k!(x-k)!} t^k (1-t)^{x-k} \right ) \textit{，其中}\ x=n-1 \textit{，} y=k-1 \ \cdots = n \left ( B_{n-1,k-1}(t) - B_{n-1,k}(t) \right ) \end{array} ]
现在将上式应用于已有的加权贝塞尔函数。先写出之前所见的平面曲线公式，再逐步求出导数：
[\begin{array}{lcl} \textit{Bézier}{n,k}(t) &=& B{n,0}(t) \cdot w_0 + B_{n,1}(t) \cdot w_1 + B_{n,2}(t) \cdot w_2 + B_{n,3}(t) \cdot w_3 + \cdots \ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \textit{Bézier}{n,k}(t) &=& n \cdot (B{n-1,-1}(t) - B_{n-1,0}(t)) \cdot w_0 + {}\ & & n \cdot (B_{n-1,0}(t) - B_{n-1,1}(t)) \cdot w_1 + {}\ & & n \cdot (B_{n-1,1}(t) - B_{n-1,2}(t)) \cdot w_2 + {}\ & & n \cdot (B_{n-1,2}(t) - B_{n-1,3}(t)) \cdot w_3 + {}\ & & \cdots \end{array}]
如果打开上式的括号（用颜色表示相匹配的项），再按递增的k值重排各项，那么有：
[\begin{array}{lclc} n \cdot B_{n-1,-1}(t) \cdot w_0 &+& & \ n \cdot B_{n-1,BLUE[0]}(t) \cdot w_1 &-& n \cdot B_{n-1,BLUE[0]}(t) \cdot w_0 & + \ n \cdot B_{n-1,RED[1]}(t) \cdot w_2 &-& n \cdot B_{n-1,RED[1]}(t) \cdot w_1 & + \ n \cdot B_{n-1,MAGENTA[2]}(t) \cdot w_3 &-& n \cdot B_{n-1,MAGENTA[2]}(t) \cdot w_2 & + \ \cdots &-& n \cdot B_{n-1,3}(t) \cdot w_3 & + \ \cdots & & & \end{array}]
上式中有两项会消失掉：因为任意和式都没有第-1项，所以上式第一项消失。既然这一项总是贡献为零，那么求导时就可以放心地将其完全无视。消失的另外一项为展开式的最后一项——包含Bn-1,n的一项。这一项含有二项式系数Cii+1，而这一系数通常约定等于0。因此这一项贡献为零，也可被略去。这意味着剩下的项为：
[\begin{array}{lclc} n \cdot B_{n-1,BLUE[0]}(t) \cdot w_1 &-& n \cdot B_{n-1,BLUE[0]}(t) \cdot w_0 &+ \ n \cdot B_{n-1,RED[1]}(t) \cdot w_2 &-& n \cdot B_{n-1,RED[1]}(t) \cdot w_1 &+ \ n \cdot B_{n-1,MAGENTA[2]}(t) \cdot w_3 &-& n \cdot B_{n-1,MAGENTA[2]}(t) \cdot w_2 &+ \ \cdots \end{array}]
此即低次函数之和：
[ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \textit{Bézier}{n,k}(t) = n \cdot B{n-1,BLUE[0]}(t) \cdot (w_1 - w_0) + n \cdot B_{n-1,RED[1]}(t) \cdot (w_2 - w_1) + n \cdot B_{n-1,MAGENTA[2]}(t) \cdot (w_3 - w_2) + \cdots ]
将上式改写为正常的和式即可：
[ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \textit{Bézier}{n,k}(t) = \sum{k=0}^{n-1} n \cdot B_{n-1,k}(t) \cdot (w_{k+1} - w_k) = \sum_{k=0}^{n-1} B_{n-1,k}(t) \cdot \underbrace{n \cdot (w_{k+1} - w_k)}_{\textit{导数的权重}} ]
将上式改写为与原式相似的形式有助于看出它们的区别。先写出原式，再写出导数：
[
\textit{Bézier}(n,t) = \sum_{i=0}^{n}
\underbrace{\mathrm{C}n^i}{\textit{二项式系数项}}
\cdot
\underbrace{(1-t)^{n-i} \cdot t^{i}}{\textit{多项式项}}
\cdot
\underbrace{w_i}{\textit{权重}}
]
[
\textit{Bézier}'(n,t) = \sum_{i=0}^{k}
\underbrace{\mathrm{C}k^i}{\textit{二项式系数项}}
\cdot
\underbrace{(1-t)^{k-i} \cdot t^{i}}{\textit{多项式项}}
\cdot
\underbrace{n \cdot (w{i+1} - w_i)}_{\textit{导数的权重}}
\textit{，其中}\ k=n-1
]
有什么区别？对于实际的贝塞尔曲线而言几乎没有区别！虽然次数降低了（从n次变为n-1次），但是贝塞尔函数没有改变。唯一的真正的区别在于推导表示曲线的函数时权重如何变化。如果有A、B、C、D四个点，那么导数有三个点，二阶导数有两个点，三阶导数有一个点：
[ \begin{array}{lllll} B(n,t)， & & w &= {A,B,C,D} \ B'(n,t)， & n = 3， & w' &= {A',B',C'} &= {3 \cdot (B-A),\ 3 \cdot (C-B),\ 3 \cdot (D-C)} \ B''(n,t)， & n = 2， & w'' &= {A'',B''} &= {2 \cdot (B'-A'),\ 2 \cdot (C'-B')} \ B'''(n,t)， & n = 1， & w''' &= {A'''} &= {1 \cdot (B''-A'')} \end{array} ]
只要有多于一个权重即可运用这一方法。只剩一个权重时，下一步会出现k=0，而贝塞尔函数的和式因为无项可加而化为零。因此二次函数没有二阶导数，三次函数没有三阶导数，更一般地有n次函数有n-1阶（有意义的）导数，其更高阶导数为零。