5.6 KiB
Интервал Безье [0,1]
В математике кривых Безье, вы могли заметить одну любопытную деталь — кривые Безье всегда считают вдоль одного и того же интервала t, t=0 to t=1. Почему же именно этот интервал?
Последнее обусловленно тем, как мы определяем "начало" и "конец" нашей кривой. Если у нас есть значение, которое представляет собой сочетание двух других значений, тогда общая формула для этого будет:
[ \textit{mixture} = a \cdot \textit{value}_1 + b \cdot \textit{value}_2 ]
Очевидно, что начальное и конечное значения a и b должны быть a=1, b=0, чтобы в начале получать вывод 100% первого показателя и 0% второго; и a=0, b=1, чтобы в конце получать 0% value 1 и 100% value 2. В дополнение, мы не хотим чтобы "a" и "b" были независимыми, в коем случае можно было бы присвоить им любые значения и на выводе получить, например, 100% первого показателя и 100% второго. В принципе, с последним все ок, но в случае кривых Безье, мы всегда должны получать значение между двух крайностей, потому нельзя присвоить a и b значения, которые бы вместе составляли суму более 100% на выводе, что можно записать как:
[ m = a \cdot \textit{value}_1 + (1 - a) \cdot \textit{value}_2 ]
С этим у нас есть гарантия, что мы не получим суму значений пропорций более 100%. Мы ограничиваем значение a интервалом [0,1], потому всегда получаем вывод из пропорционального смешения двух показателей, с сумой смесителей не превышающей 100%.
Но... что если мы воспользуемся этой формой, предполагающей что мы всегда будем использовать значения а между 0 и 1, для подсчета точек лежащих вне стандартного интервала? Наши вычисления пойдут по откосной? Что ж... не то чтобы, мы попросту увидим больше.
В случае кривой Безье, продление интервала просто продляет развитие кривой. Кривые Безье всего лишь сегменты полиноминальных кривых. Выбирая более широкий отрезок — мы можем проследить дальнейшее развитие кривой. И как же это выглядит?
Ниже представлены графики кривых Безье, зарисованных "обычным путем", по верх зарисовки кривых на которых они лежат, полученных путем расширения интервала значений t. Как мы можем наблюдать, кривая Безье есть частью большей формы, скрытой за границами нашего интервала, которую мы так-же можем регулировать путем перемещения контрольных точек.
В области компьютерной графики, существуют множество кривых, которые действуют по противоположному кривым Безье принципу: вместо фиксированного интервала и свободного выбора контрольных точек формирующих развитие искривлений, они фиксируют форму кривой, предоставляя возможность выбора интервала. Отличным примером последней есть кривая "Spiro", которая частично базируется на спирали Корню, также известной как спираль Эйлера (* в оригинале другая ссылка на Корню и Эйлера ). Эту эстетически приятную кривую можно встретить в нескольких графических пакетах: FontForge и Inkscape. Ее даже используют в дизайне шрифтов, например в начертания шрифта Inconsolata.