BezierInfo-2/docs/chapters/matrix/content.ru-RU.md

# Кривые Безье как матричные уравнения

Мы также можем представить кривые Безье как матричную операцию, выразив формулу Безье как функцию с полиноминальноминальной основой, матрицу коэффициентов и матрицу конкретных координат. Давайте рассмотрим что это значит для уравнений кубических кривых Безье, используя P<sub>...</sub> для обозначения координат в "одном или более пространстве".

\[
B(t) = P_1 \cdot (1-t)^3 + P_2 \cdot 3 \cdot (1-t)^2 \cdot t + P_3 \cdot 3 \cdot (1-t) \cdot t^2 + P_4 \cdot t^3
\]

Обобщив, игнорируя конкретные значения, мы получим:

\[
B(t) = (1-t)^3 + 3 \cdot (1-t)^2 \cdot t + 3 \cdot (1-t) \cdot t^2 + t^3
\]

Это, в свою очередь, может быть записано как:

\[
  \begin{matrix}
   ... & = & (1-t)^3 \\
     & + & 3 \cdot (1-t)^2 \cdot t \\
     & + & 3 \cdot (1-t) \cdot t^2 \\
     & + & t^3 \\
  \end{matrix}
\]

Последнее мы можем раскрыть, записав как:

\[
  \begin{matrix}
   ... & = & (1-t) \cdot (1-t) \cdot (1-t) & = & -t^3 + 3 \cdot t^2 - 3 \cdot t + 1 \\
     & + & 3 \cdot (1-t) \cdot (1-t) \cdot t & = & 3 \cdot t^3 - 6 \cdot t^2 + 3 \cdot t \\
     & + & 3 \cdot (1-t) \cdot t \cdot t & = & -3 \cdot t^3 + 3 \cdot t^2 \\
     & + & t \cdot t \cdot t & = & t^3 \\
  \end{matrix}
\]

Более того можно записать с коэффициентами 1 и 0, включив нивелированные термины:

\[
  \begin{matrix}
   ... & = & -1 \cdot t^3 + 3 \cdot t^2 - 3 \cdot t + 1 \\
     & + & +3 \cdot t^3 - 6 \cdot t^2 + 3 \cdot t + 0 \\
     & + & -3 \cdot t^3 + 3 \cdot t^2 + 0 \cdot t + 0 \\
     & + & +1 \cdot t^3 + 0 \cdot t^2 + 0 \cdot t + 0 \\
  \end{matrix}
\]

И уже это можно рассматривать как серию четырех матричных операций:

\[
  \begin{bmatrix}t^3 & t^2 & t & 1\end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}-1 \\ 3 \\ -3 \\ 1\end{bmatrix}
  + \begin{bmatrix}t^3 & t^2 & t & 1\end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}3 \\ -6 \\ 3 \\ 0\end{bmatrix}
  + \begin{bmatrix}t^3 & t^2 & t & 1\end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}-3 \\ 3 \\ 0 \\ 0\end{bmatrix}
  + \begin{bmatrix}t^3 & t^2 & t & 1\end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}1 \\ 0 \\ 0 \\ 0\end{bmatrix}
\]

Скомбинировав в единую матричную операцию, получим:

\[
  \begin{bmatrix}t^3 & t^2 & t & 1\end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
      -1 &  3 & -3 & 1 \\
       3 & -6 &  3 & 0 \\
      -3 &  3 &  0 & 0 \\
       1 &  0 &  0 & 0
    \end{bmatrix}
\]

Такой тип функций полиноминальной основы зачастую записывается с основой в возрастающем порядке, что значит мы должны обернуть нашу `t` матрицу горизонтально, а нашу "большую" матрицу — вертикально:

\[
  \begin{bmatrix}1 & t & t^2 & t^3\end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
       1 &  0 &  0 & 0 \\
      -3 &  3 &  0 & 0 \\
       3 & -6 &  3 & 0 \\
      -1 &  3 & -3 & 1
    \end{bmatrix}
\]

Наконец, мы можем добавить оригинальные координаты единой третьей матрицей:

\[
  B(t) = \begin{bmatrix}
  1 & t & t^2 & t^3
  \end{bmatrix}
  \cdot
  \begin{bmatrix}
   1 &  0 &  0 & 0 \\
  -3 &  3 &  0 & 0 \\
   3 & -6 &  3 & 0 \\
  -1 &  3 & -3 & 1
  \end{bmatrix}
  \cdot
  \begin{bmatrix}
  P_1 \\ P_2 \\ P_3 \\ P_4
  \end{bmatrix}
\]

Такой же фокус может быть проделан с квадратной кривой, в коем случае мы получаем:

\[
  B(t) = \begin{bmatrix}
  1 & t & t^2
  \end{bmatrix}
  \cdot
  \begin{bmatrix}
   1 &  0 & 0 \\
  -2 &  2 & 0 \\
   1 & -2 & 1
  \end{bmatrix}
  \cdot
  \begin{bmatrix}
  P_1 \\ P_2 \\ P_3
  \end{bmatrix}
\]

Подставив `t` и перемножив матрицы, мы получим такие-же значения, как при подсчете с использованием исходной полиноминальной функции или графического метода интерполяции.

**Итак: зачем нам возится с матрицами?** Матричное произведение раскрывает свойства функции кривых, которые в противном случае, было бы сложно обнаружить. Например, мы видим, что наша функция принадлежит к типу [треугольных матриц](https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A2%D1%80%D0%B5%D1%83%D0%B3%D0%BE%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B0%D1%8F_%D0%BC%D0%B0%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%86%D0%B0) (* в оригинале [другая ссылка](https://en.wikipedia.org/wiki/Triangular_matrix)), определенные количеством контрольных координат и обладают всеми соответствующими свойствами. Также, что они могут быть обернуты, что в свою очередь определяет [тонну других свойств](https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9E%D0%B1%D1%80%D0%B0%D1%82%D0%BD%D0%B0%D1%8F_%D0%BC%D0%B0%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%86%D0%B0#%D0%A1%D0%B2%D0%BE%D0%B9%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%B0_%D0%BE%D0%B1%D1%80%D0%B0%D1%82%D0%BD%D0%BE%D0%B9_%D0%BC%D0%B0%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%86%D1%8B) (* в оригинале [другая ссылка](https://en.wikipedia.org/wiki/Invertible_matrix#The_invertible_matrix_theorem)), применимых к нашим кривым. Конечно же, основным вопросом остается: "В чем состоит польза?". Тогда как ответ не становится *очевидным* немедленно, чуть далее мы увидим определенные случаи, где некоторые свойства кривых могут быть исчислены посредством манипуляции функцией, либо остроумным использованием матриц, и иногда последнее намного быстрее.

Потому пока давайте запомним, что функции могут быть описаны таким образом, и будем двигаться дальше.