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切线与法线
如果要将物体沿曲线移动或者从曲线附近“移向远处”，那么与之最相关的两个向量为曲线的切向量和法向量，而这两者都非常容易求得。切向量用于沿曲线移动或者对准曲线方向，它标志着曲线在指定点的行进方向，而且就是曲线函数的一阶导数：
[ \begin{matrix} \textit{tangent}_x(t) = B'_x(t) \ \ \textit{tangent}_y(t) = B'_y(t) \end{matrix} ]
此即所需的方向向量。可以在每一点将方向向量规范化后得到单位方向向量（即长度为1.0），再根据这些方向进行所需的操作：
[ \begin{matrix} d = \left | \textit{tangent}(t) \right | = \sqrt{B'_x(t)^2 + B'_y(t)^2} \ \ \hat{x}(t) = \left | \textit{tangent}_x(t) \right | =\frac{\textit{tangent}_x(t)}{ \left | \textit{tangent}(t) \right | } = \frac{B'_x(t)}{d} \ \ \hat{y}(t) = \left | \textit{tangent}_y(t) \right | = \frac{\textit{tangent}_y(t)}{ \left | \textit{tangent}(t) \right | } = \frac{B'_y(t)}{d} \end{matrix} ]
切向量对于沿曲线移动很有用，但如果要从曲线附近“移向远处”，而且移动方向与曲线在某点t处垂直，那该怎么办？这时需要的是法向量。这一向量与曲线的方向保持垂直，且长度通常为1.0，因此只需旋转单位方向向量即可：
[ \begin{array}{l} \textit{normal}_x(t) = \hat{x}(t) \cdot \cos{\frac{\pi}{2}} - \hat{y}(t) \cdot \sin{\frac{\pi}{2}} = - \hat{y}(t) \ \ \textit{normal}y(t) = \underbrace{ \hat{x}(t) \cdot \sin{\frac{\pi}{2}} + \hat{y}(t) \cdot \cos{\frac{\pi}{2}} }{90^\circ \textit{旋转}} = \hat{x}(t) \end{array} ]
其实旋转坐标只要知道方法就非常简单——“施加旋转矩阵”，以下即采用这种方法。本质上这一做法是先选取用于旋转的圆，再将坐标沿着圆“滑动所需的角度”。如果需要转动90度，那么将坐标沿着圆滑动90度即可。
为了将点(x,y)（绕(0,0)）旋转φ度得到点(x',y')，可以使用以下简洁的计算式：
[\begin{array}{l} x' = x \cdot \cos(\phi) - y \cdot \sin(\phi) \ y' = x \cdot \sin(\phi) + y \cdot \cos(\phi) \end{array}]
对应“短”版本的矩阵变换为：
[ \begin{bmatrix} x' \ y' \end{bmatrix}
\begin{bmatrix} \cos(\phi) & -\sin(\phi) \ \sin(\phi) & \cos(\phi) \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \ y \end{bmatrix} ]
注意对于90度、180度和270度旋转，因为这些角度的正弦和余弦分别为0和1、-1和0、0和-1，所以上式可以更简。
但是为什么可以这样做？为什么用这一矩阵乘法？这是因为旋转变换可以表示为三个（初等）剪切变换的复合，而将三个变换合成一个变换（因为所有矩阵变换都可以复合）即得上述矩阵表示。DataGenetics对此进行了很好的解释，非常推荐读者一读。
以下两图展示了二次和三次贝塞尔曲线在各点的切线和法线，其中蓝色的为方向向量，红色的为法向量（标记按t值的等分区间放置，并非等距放置）。