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베지에 곡선은 어떻게 만드나요?

곡선의 점들을 이리저리 옮겨보고 나면 베지에 곡선이 어떤 모양을 하는지 어느 정도 감이 올 것입니다. 그런데 베지에 곡선이라는 게 정말 무엇일까요? 베지에 곡선의 정체는 두 가지 방법으로 설명할 수 있고, 알고 보면 둘 다 완전히 동일하지만, 하나는 복잡한 수식을 쓰고 다른 하나는 정말 쉬운 수식을 씁니다. 그러니까... 일단 쉬운 설명부터 들어 봅시다.

베지에 곡선은 선형 보간의 결과물입니다. 말로만 들으면 어려워 보이지만 사실은 독자 여러분도 어릴 때부터 선형 보간을 한 적이 있을 것입니다. 무언가 둘 사이에 있는 것을 가리킬 때 했던 것이 바로 선형 보간, 즉 "두 점 사이에 점을 하나 찍는 것"입니다.

이 두 점 사이의 거리를 알고 있고, 예를 들어서 새로운 점을 한 점에서 20% 거리에(즉, 다른 점에서 80% 거리에) 찍으려고 한다면 이 점의 위치는 정말 쉽게 계산할 수 있습니다.

[ \left ( \begin{aligned} p_1 &= \textit{한 점} \ p_2 &= \textit{다른 점} \ \textit{거리} &= (p_2 - p_1) \ \textit{비율} &= \frac{\textit{퍼센트}}{100} \ \end{aligned} \right ) \textit{이라 할 때},~\textit{새 점의 위치} = p_1 + \textit{거리} \cdot \textit{비율} ]

눈으로도 직접 확인해 봅시다. 아래 그림은 상하 방향키로 보간 비율을 늘리거나 줄이면서 어떻게 바뀌는지 확인할 수 있는 인터랙티브 그래픽입니다. 우선 세 점으로 시작해서 선분을 두 개 그립니다. 이 두 선분에 선형 보간을 해서 두 점을 얻을 수 있고, 이 두 점 사이에 다시 선형 보간을 하면 한 점이 됩니다. 바로 이 점(과 모든 비율에 대해 같은 방법으로 취한 모든 점)이 베지에 곡선이 됩니다.

바로 여기서 복잡한 수학... 미적분이 등장합니다.

전혀 그렇게 느껴지지는 않겠지만, 우리가 여기서 한 것이 바로 이차곡선을 (한 획이 아니라 여러 단계에 걸쳐) 그리는 작업입니다. 베지에 곡선의 신기한 점 중 하나가 같은 대상을 다항함수로도, 혹은 간단하게 보간의 보간의 ... 보간으로도 나타낼 수 있다는 것입니다. 다시 말하자면, 우리는 이 곡선의 성질을 "진짜 수학"을 통해서든(곡선의 함수와 도함수 따위를 이용해서), "기계적" 구성을 통해서든(예를 들어, 베지에 곡선은 곡선을 그리는 데 사용한 점 밖으로 빠져나가지 않음을 알 수 있습니다) 탐구할 수 있습니다.

이제부터는 베지에 곡선을 조금 더 자세히 ― 수식으로 어떻게 표현하는지, 어떤 성질을 가지고 있는지, 어떻게 변형하고 어떻게 쓸 수 있는지 ― 알아보도록 하겠습니다.