控制贝塞尔的曲率

贝塞尔曲线是插值方程（就像所有曲线一样），这表示它们取一系列的点，生成一些处于这些点之间的值。（一个推论就是你永远无法生成一个位于这些控制点轮廓线外面的点，更普遍是称为曲线的外壳。这信息很有用！）实际上，我们可以将每个点对方程产生的曲线做出的贡献进行可视化，因此可以看出曲线上哪些点是重要的，它们处于什么位置。

下面的图形显示了二次曲线和三次曲线的差值方程，“S”代表了点对贝塞尔方程总和的贡献。点击或拖动点来看看在特定的t值时，每个曲线定义的点的插值百分比。

上面有一张是15^th阶的插值方程。如你所见，在所有控制点中，起点和终点对曲线形状的贡献比其他点更大些。

如果我们要改变曲线，就需要改变每个点的权重，有效地改变插值。可以很直接地做到这个：只要用一个值乘以每个点，来改变它的强度。这个值照惯例称为“权重”，我们可以将它加入我们原始的贝塞尔函数：


  Bézier(n,t) = \sum_{i=0}^{n}
                \underset{binomial\ term}{\underbrace{\binom{n}{i}}}
                \cdot\
                \underset{polynomial\ term}{\underbrace{(1-t)^{n-i} \cdot t^{i}}}
                \cdot\
                \underset{weight}{\underbrace{w_i}}

看起来很复杂，但实际上“权重”只是我们想让曲线所拥有的坐标值：对于一条n^th阶曲线，w⁰是起始坐标，wⁿ是终点坐标，中间的所有点都是控制点坐标。假设说一条曲线的起点为（120，160），终点为（220，40），并受点（35，200）和点（220，260）的控制，贝塞尔曲线方程就为：


\left \{ \begin{matrix}
  x = BLUE[120] \cdot (1-t)^3 + BLUE[35] \cdot 3 \cdot (1-t)^2 \cdot t + BLUE[220] \cdot 3 \cdot (1-t) \cdot t^2 + BLUE[220] \cdot t^3 \\
  y = BLUE[160] \cdot (1-t)^3 + BLUE[200] \cdot 3 \cdot (1-t)^2 \cdot t + BLUE[260] \cdot 3 \cdot (1-t) \cdot t^2 + BLUE[40] \cdot t^3
\end{matrix} \right.

这就是我们在文章开头看到的曲线：

我们还能对贝塞尔曲线做些什么？实际上还有很多。文章接下来涉及到我们可能运用到的一系列操作和算法，以及它们可以完成的任务。

如何实现权重基本函数

鉴于我们已经知道怎样实现基本函数，在其加入控制点是非常简单的：

function Bezier(n,t,w[]):
  sum = 0
  for(k=0; k<n; k++):
    sum += w[k] * binomial(n,k) * (1-t)^(n-k) * t^(k)
  return sum

下面是优化过的版本：

function Bezier(2,t,w[]):
  t2 = t * t
  mt = 1-t
  mt2 = mt * mt
  return w[0]*mt2 + w[1]*2*mt*t + w[2]*t2

function Bezier(3,t,w[]):
  t2 = t * t
  t3 = t2 * t
  mt = 1-t
  mt2 = mt * mt
  mt3 = mt2 * mt
  return w[0]*mt3 + 3*w[1]*mt2*t + 3*w[2]*mt*t2 + w[3]*t3

现在我们知道如何编程实现基本权重函数了。

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如何实现权重基本函数

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